3.216 \(\int \frac{\tanh (x)}{(a+b \text{sech}^2(x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=62 \[ -\frac{1}{a^2 \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2}}-\frac{1}{3 a \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}} \]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - 1/(3*a*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)) - 1/(a^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2
])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0871114, antiderivative size = 62, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.333, Rules used = {4139, 266, 51, 63, 208} \[ -\frac{1}{a^2 \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2}}-\frac{1}{3 a \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2),x]

[Out]

ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(5/2) - 1/(3*a*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)) - 1/(a^2*Sqrt[a + b*Sech[x]^2
])

Rule 4139

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
[{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/f, Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(c*ff*x)^n)^p)/x
, x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (GtQ[m, 0] || EqQ[
n, 2] || EqQ[n, 4] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[2*n, p])

Rule 266

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 51

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1
))/((b*c - a*d)*(m + 1)), x] - Dist[(d*(m + n + 2))/((b*c - a*d)*(m + 1)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[
c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh (x)}{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}} \, dx &=-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \left (a+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\text{sech}(x)\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x (a+b x)^{5/2}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\right )\\ &=-\frac{1}{3 a \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )}{2 a}\\ &=-\frac{1}{3 a \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{a^2 \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )}{2 a^2}\\ &=-\frac{1}{3 a \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{a^2 \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}\right )}{a^2 b}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2}}-\frac{1}{3 a \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}-\frac{1}{a^2 \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.773168, size = 112, normalized size = 1.81 \[ -\frac{\text{sech}^5(x) (a \cosh (2 x)+a+2 b) \left (4 a^{3/2} \cosh (3 x)+12 \sqrt{a} (a+b) \cosh (x)-3 \sqrt{2} (a \cosh (2 x)+a+2 b)^{3/2} \log \left (\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}+\sqrt{2} \sqrt{a} \cosh (x)\right )\right )}{24 a^{5/2} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]/(a + b*Sech[x]^2)^(5/2),x]

[Out]

-((a + 2*b + a*Cosh[2*x])*(12*Sqrt[a]*(a + b)*Cosh[x] + 4*a^(3/2)*Cosh[3*x] - 3*Sqrt[2]*(a + 2*b + a*Cosh[2*x]
)^(3/2)*Log[Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[x] + Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]])*Sech[x]^5)/(24*a^(5/2)*(a + b*Sech[x]^2)^(
5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.014, size = 61, normalized size = 1. \begin{align*} -{\frac{1}{3\,a} \left ( a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}-{\frac{1}{{a}^{2}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2}}}}}+{\ln \left ({\frac{1}{{\rm sech} \left (x\right )} \left ( 2\,a+2\,\sqrt{a}\sqrt{a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2}} \right ) } \right ){a}^{-{\frac{5}{2}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)/(a+b*sech(x)^2)^(5/2),x)

[Out]

-1/3/a/(a+b*sech(x)^2)^(3/2)-1/a^2/(a+b*sech(x)^2)^(1/2)+1/a^(5/2)*ln((2*a+2*a^(1/2)*(a+b*sech(x)^2)^(1/2))/se
ch(x))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )}{{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*sech(x)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)/(b*sech(x)^2 + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.47824, size = 10838, normalized size = 174.81 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*sech(x)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(
x)^2 + a^2 + 2*a*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 8*a*b + 8
*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*a
^2*cosh(x)^5 + 10*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(
x)^2 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b)*si
nh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 2*a*
b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x
)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b +
4*a*b^2 + b^3 + 14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3
*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*
a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x
)^4 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a
^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(
x)^6 + 15*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b + 3*(6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(
x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*
a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^
2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)
*cosh(x)^2 + (15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 +
a^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x)
)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3
+ 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*co
sh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*c
osh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 3*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cos
h(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b)*sinh(x)^6 + 8*(
7*a^2*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*a^2*cosh(x)
^4 + 30*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5 + 10*(a^2 + 2*a*b)*cos
h(x)^3 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*a^2*cosh(x)^6 + 15*(a^2
+ 2*a*b)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 +
3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 2*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(
a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*
(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)) - 16*sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + a*b)*cosh(x)^4 +
3*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*(a^2 + a
*b)*cosh(x)^2 + 3*(5*a^2*cosh(x)^4 + 6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 6*(a^2*cosh(x)^5 +
2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (a^2 + a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5*cosh(x)^8 + 8*a^5*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^5*sinh(x)^8 + 4*(a^5 + 2*a^4*
b)*cosh(x)^6 + 4*(7*a^5*cosh(x)^2 + a^5 + 2*a^4*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*a^5*cosh(x)^3 + 3*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x))
*sinh(x)^5 + a^5 + 2*(3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*a^5*cosh(x)^4 + 3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b
^2 + 30*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*a^5*cosh(x)^5 + 10*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^3 + (3*a^5 + 8*
a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*a^5*cosh(x)^6 + a^5 + 2*a^4*b + 15*
(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*(a^5*cosh(x)^7 + 3*(a^5 +
2*a^4*b)*cosh(x)^5 + (3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x))*sinh(x)), -1/6*(3*(a^
2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 + a^2 +
2*a*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x
)^4 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(x)^5
+ 10*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*
a^2*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b)*sinh(x)^2 + a^
2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 2*a*b)*cosh(x))*
sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(
-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(
x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*co
sh(x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + 3
*(a^2*cosh(x)^8 + 8*a^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^2*sinh(x)^8 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*a^2*cosh(x)^2 + a
^2 + 2*a*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*a^2*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*co
sh(x)^4 + 2*(35*a^2*cosh(x)^4 + 30*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*a^2*cosh(
x)^5 + 10*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^2 + 4
*(7*a^2*cosh(x)^6 + 15*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b)*sinh(x)^2
+ a^2 + 8*(a^2*cosh(x)^7 + 3*(a^2 + 2*a*b)*cosh(x)^5 + (3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 + 2*a*b)*cosh(
x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^
2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 +
a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh
(x))*sinh(x) + a)) + 8*sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + a*b)*cosh(x
)^4 + 3*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 3*(a
^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 3*(5*a^2*cosh(x)^4 + 6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + a^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 6*(a^2*cosh(
x)^5 + 2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (a^2 + a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cos
h(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5*cosh(x)^8 + 8*a^5*cosh(x)*sinh(x)^7 + a^5*sinh(x)^8 + 4*(a^5 +
2*a^4*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*a^5*cosh(x)^2 + a^5 + 2*a^4*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*a^5*cosh(x)^3 + 3*(a^5 + 2*a^4*b)*co
sh(x))*sinh(x)^5 + a^5 + 2*(3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*a^5*cosh(x)^4 + 3*a^5 + 8*a^4*b + 8
*a^3*b^2 + 30*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*a^5*cosh(x)^5 + 10*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^3 + (3*a^
5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*a^5*cosh(x)^6 + a^5 + 2*a^4*b
+ 15*(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*(a^5*cosh(x)^7 + 3*
(a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x)^5 + (3*a^5 + 8*a^4*b + 8*a^3*b^2)*cosh(x)^3 + (a^5 + 2*a^4*b)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 52.2062, size = 65, normalized size = 1.05 \begin{align*} - \frac{1}{3 a \left (a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{a^{2} \sqrt{a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}}} - \frac{\operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}}}{\sqrt{- a}} \right )}}{a^{2} \sqrt{- a}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*sech(x)**2)**(5/2),x)

[Out]

-1/(3*a*(a + b*sech(x)**2)**(3/2)) - 1/(a**2*sqrt(a + b*sech(x)**2)) - atan(sqrt(a + b*sech(x)**2)/sqrt(-a))/(
a**2*sqrt(-a))

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )}{{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*sech(x)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(tanh(x)/(b*sech(x)^2 + a)^(5/2), x)